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Vidéo : Homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure  en conservant ses proportions.

Elle se caractérise par un centre O et un rapport d’homothétie k.

Soient O un point quelconque du plan et k un nombre réel strictement positif.

L’homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M du plan en un point M’ tel que O, M et M’ soient alignés, et que la distance OM’ soit égale à k fois la distance OM.

M’ est l’image de M. Si k =1, M’ est confondu avec M. 

L’homothétie de rapport 1 est la transformation identité. Tous les points du plan sont invariants.

Si M est confondu avec le centre d’homothétie O, alors son image M’ est confondue avec O, quelle que soit la valeur de k.

Le centre de l’homothétie O est un point invariant pour tout k.

Soient A et B deux points distincts du plan, A’ et B’ leur image par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Les segments [AB] et [A’B’] sont parallèles et la distance A’B’ est égale à k fois la distance AB

L’image d’une droite est une droite parallèle.

Si la droite (AB) passe par le centre d’homothétie O alors son image (A’B’) est confondue avec (AB).

Une homothétie conserve la mesure des angles et leur orientation.

L’image par homothétie d’un cercle de centre C et de rayon r est le cercle de centre C’, image de C, et de rayon r’ égal à k fois r.

L’image d’un quadrilatère est un quadrilatère de même nature.

Si k est plus grand que 1, l’homothétie de rapport k agrandit la figure.

Si k est égal à 1, l’image se confond avec la figure initiale.

Si k est plus petit que 1, l’image est réduite.

Si k est négatif, la figure image change d’orientation.

Le cas particulier k = -1 correspond à la symétrie centrale de centre 0 mais aussi la rotation de 180°.

En conclusion, une homothétie ne conserve pas les distances. Elles sont multipliées par la valeur absolue de k.

Il en est de même pour le périmètre de la figure image.

L’aire de la figure image est égale à l’aire de la figure initiale multipliée par k au carré.

De la même façon, le volume V’ d’un objet image est égal au volume V de l’objet initial multiplié par le cube de la valeur absolue de k.